Есть ли способ при использовании The Bat! закачивать только некоторые письма?

Да,в The Bat эта функция реализована достаточно удобно.
Вам необходимо зайти в свойства вашего почтового ящика, выбрать пункт "Mail Management" (Управление почтой) и установит флажок в разделе "Mail Dispatcher" (Диспетчер почты) напротив пункта "Invoke automatically at each mail ckeck" (Запускать автоматически при каждой проверке почты).
После этого при каждой проверке почты будет вызываться диспетчер почты, в котором вы сможете отметить галочками только те письма, которые хотели бы получить.